Сибирская Государственная Академия
телекоммуникаций и информатики.
А. Т. Бизин
ВВЕДЕНИЕ
В ЦИФРОВУЮ ОБРАБОТКУ
СИГНАЛОВ
Новосибирск 1998г.
Автор: Бизин Анатолий Тимофеевич,
Доцент кафедры ТЭЦ СибГАТИ
Обсуждены основные положения теории дискретных сигналов и способы их обработки. Рассмотрены особенности цифровой реализации дискретных систем. Изложены методы расчета цифровых фильтров, получившие наибольшее распространение.
Эффекты конечной разрядности ЦФ и их учет рассмотрены применительно к системам с фиксированной запятой. Погрешности дискретизации и восстановления обсуждены на уровне необходимом для понимания вопроса.
Для технических факультетов.
1. Дискретные сигналы.
Дискретизация непрерывных сигналов.
Обработка сигналов на цифровых ЭВМ начинается с замены непрерывного сигнала X(t) на дискретную последовательность, для которой применяются такие обозначения
x(nT) , x(n) , xn , x0 ; x1 ; x2 ; .
Дискретизация осуществляется электронным ключом (ЭК) через равные интервалы времени T (Рис. 1.1).
Дискретная последовательность аппроксимирует исходный сигнал X(t) в виде решетчатой функции X(nT). Частота переключения электронного ключа fд и шаг дискретизации T связаны формулой
fд = 1 / T . (1.1)
Дискретная последовательность или дискретный сигнал выражается через исходный непрерывный (аналоговый) сигнал следующим образом
x(nT) = x(t)(t - nT) , (1.2)
где (t) - дискретная - функция (Рис. 1.2, а),
(t - nT) - последовательность - функций (Рис. 1.2, б).
Погрешность, возникающую при замене аналогового сигнала дискретным сигналом, удобно оценить сравнивая спектры этих сигналов.
Связь спектров дискретного и непрерывного сигналов.
Исходное выражение для спектра дискретного сигнала с учетом (1.2) запишется следующим образом
X(j) =x(nT) e-jt dt =x(t)(t - nT) e-jt dt .
Периодическую последовательность - функций здесь можно разложить в ряд Фурье
(t - nT) =,
где с учетом формулы связи спектров периодического и непериодического сигналов
, поскольку F(j) = 1
После замены в исходном выражении периодической последовательности - функций ее разложением в ряд Фурье получим
X(j) =x(t)() e-jt dt =x(t)e-jt dt .
Учитывая здесь теорему смещения спектров, т.е. :
если f(t) F(j), то f(t) F[j( 0)] ,
последнее равенство можно представить в виде формулы, выражающей связь спектров дискретного X(j) и аналогового Xa(j) сигналов
X(j) =Xa[j( -)] . (1.3)
На основании формулы (1.3) с учетом поясняющих рисунков 1.3, а, б можно сделать следующие выводы :
Спектр дискретного сигнала состоит из суммы спектров исходного непрерывного сигнала, сдвинутых друг относительно друга по оси частот на величину равную частоте дискретизации д
Спектры аналогового и дискретного сигналов совпадают в диапазоне частот [-0,5д ; 0,5д], если удовлетворяется неравенство
в 0,5д , (1.4)
где в - верхняя частота спектра аналогового сигнала.
Равенство в (1.4) соответствует утверждению теоремы Котельникова о минимальной частоте д.
Смежные спектры Xa(j) в (1.3) частично перекрываются, если условие (1.4) не выполняется (Рис 1.3, б). В этом случае спектр дискретного сигнала искажается по отношению к спектру аналогового сигнала. Эти искажения являются неустранимыми и называются ошибками наложения.
Аналоговый сигнал можно восстановить полностью по дискретному сигналу с помощью ФНЧ, частота среза которого с = 0,5д. Это утверждение основано но совпадении спектров дискретного сигнала на выходе ФНЧ и непрерывного сигнала. Сигнал восстанавливается без искажений, если выполняется условие (1.4). в противном случае сигнал восстанавливается с искажениями, обусловленными ошибками наложения.
Выбор частоты дискретизации осуществляется в соответствии с (1.4). если частота в не известна, то выбор из д определяется расчетом по формуле (1.1), в которой интервал T выбирается приближенно с таким расчетом, чтобы аналоговый сигнал восстанавливался без заметных искажений плавным соединением отсчетов дискретного сигнала.
Преобразование Фурье и Лапласа для дискретных сигналов.
Для дискретных сигналов формулы Фурье и Лапласа представляется возможным упростить. Действительно, поскольку
то после перехода к дискретной переменной пара преобразований Фурье принимает вид
Здесь применяются формулы одностороннего преобразования Фурье, так как начало отсчета совмещается с началом действия дискретного сигнала.
Формулы Фурье для дискретных сигналов применяются в нормированном виде, поэтому после замены X(nT) X(nT) / T преобразование Фурье принимает окончательный вид
(1.5)
Формулы Лапласа для дискретных сигналов получаются на основании (1.5) после обобщения частоты на всю плоскость комплексного переменного, то есть j P = + j
(1.6)
Z - преобразование.
Эффективность частотного анализа дискретных сигналов существенно возрастает, если заменить преобразование Лапласа Z - преобразованием. В этом случае изображение сигнала X(p), которое представляет собой трансцендентную функцию переменной P = + j, заменяется Z - изображением сигнала X(Z), которое является рациональной функцией переменной Z = x + jy