. Загальна теоря рвнянь:
1. Рвняння основн означення, твердження
1) В алгебр розглядають два види рвностей - тотожност рвняння. Розглянемо функц y=f(x), визначену на множин M, y=g(x), визначену на множин N.
Якщо на деякй множин R, яка пдмножиною як М, так N, ма мсто рвнсть
f(x)=g(x),
то говорять, що ц функц тотожно рвн на множин R, а рвнсть
f(x)=g(x)
при цьому називаться тотожнстю на множин R.
Часто приходиться розглядати функц, про як невдомо, якою множина значень аргументу, на якй вони тотожно рвн. В такому випадку рвнсть
f(x)=g(x)
називають рвнянням. Воно виража задачу пошуку тих значень х, при яких f(x) g(x) рвн. Шукан значення х при цьому називають коренями (розвязками) рвняння. Значення невдомих, як належать множин допустимих значень рвняння задовольняють його (тобто перетворюють рвняння в правильну рвнсть (тотожнсть), називають коренями рвняння. Областю визначення рвняння (1) будемо називати перетин областей визначення функцй f g.
Букви, як входять в рвняння, за умовою задач можуть бути нервноправними: одн можуть приймати вс сво допустим значення називаються коефцнтами (нколи параметрами) рвняння; нш, значення яких потрбно знайти, називаються невдомими (х майже завжди позначають останнми буквами латинського алфавту: x,y,z, або тими ж буквами, але з ндексами: x1,x2,. ,xn або y1,y2,. ,yk ).
В загальному вигляд рвняння з n невдомими x1,x2,. ,xn може бути записано у вигляд
f(x1,x2,. ,xn)=g(x1,x2,. ,xn), (1)
де f(x1,x2,. ,xn),g(x1,x2,. ,xn) - функц вказаних змнних. В залежност вд клькост невдомих рвняння називають рвнянням з одним, двома бльше невдомими.
Рвняння вважаться розвязаним, якщо знайдено вс його корен або показано, що рвняння коренв нема.
Методи розвязування рвнянь базуються на понятт рвносильност (екввалентност).
Якщо вс розвязки рвняння f(х)=g(x) розвязками рвняння ((x)=((x), то говорять, що рвняння ((x)=((x) наслдком рвняння f(х)=g(x), записують
f(х)=g(x) (((x)=((x).
Два рвняння f(х)=g(x) ((x)=((x) називають екввалентними, якщо кожне з них являться наслдком другого, записують
f(х)=g(x) ( ((x)=((x).
Таким чином два рвняння вважаються екввалентними, якщо множини розвязкв цих рвнянь спвпадають.
Рвняння f(х)=g(x) aaaaou aeaaaeaioiei aaii (aai декльком) aiyiiyi f1(x)=g1(x), f2(x)= g2(x), якщо множина розвязкв рвняння f(х)=g(x) спвпада з сукупнстю множин розвязкв рвнянь f1(x)=g1(x), f2(x)= g2(x).
Можна сказати, що рвняння рвносильн, якщо кожне з них наслдком другого.
Деяк екввалентн рвняння:
1.Рвняння F+G=G екввалентне рвнянню F=0, яке розглядаться на множин допустимих значень вихдного рвняння.
2.Рвняння екввалентне рвнянню F=0, яке розглядаться на множин допустимих значень вихдного рвняння.
3.Рвняння F(G=0 екввалентне двом рвнянням F=0 G=0, кожне з яких розглядаться на множин допустимих значень вихдного рвняння.
4.Рвняння Fn=0 екввалентне рвнянню F=0.
5.Рвняння Fn=Gn при непарному n екввалентне рвнянню F=G, а при парному n екввалентне двом рвнянням: F=G F=-G.
Замна рвняння рвносильним йому рвнянням або замна рвняння рвносильною йому сукупнстю рвнянь називаться рвносильним переходом.
Наведемо основн теореми про рвносильнсть рвнянь.
Теорема. Рвняння
f(х)=g(x) f(х)+((x)=g(x)+((x)
рвносильн, якщо ((x) сну в област визначення вихдного рвняння (1).
З ц теореми виплива, що доданки можна переносити з одн частини рвняння в ншу, змнюючи знак цього доданку на протилежний.
Теорема . Якщо обидв частини рвняння
f(х)=g(x) (1)
помножити на вираз ((x), який сну в област визначення рвняння (1), то отримамо рвняння
f(х)(((x)=g(x)(((x) ( 2),
яке наслдком рвняння (1).
Якщо при цьому ((x)(0, то рвняння (1) (2) рвносильн.
Теорема . Рвняння
fn(х)=gn(x), (*)
де n(2 (натуральне), наслдком рвняння f(х)=g(x).
Це значить, що будь-який корнь рвняння (1) коренем рвняння fn(х)=gn(x), але рвняння fn(х)=gn(x), може мати ще й нш корен, як не задовольняють рвняння (1). ншими словами, при пднесенн до натурального степеня обох частин рвняння (1) можуть зявитись зайв корен.
Розрзняють рвняння алгебрачн трансцендентн. В алгебрачних рвняннях над невдомими можуть здйснюватись, причому в скнченй клькост, тльки операц додавання, вднмання, множення, длення та пднесення до рацонального степеня.
Якщо над невдомими здйснюються й нш операц, то рвняння називають трансцендентним.
Прикладами трансцендентних рвнянь показников, логарифмчн, тригонометричн рвняння, а також рвняння, що мстять обернен тригонометричн функц.
У загальному випадку трансцендентн рвняння не можуть бути розвязанн алгебрачно, тобто за допомогою послдовного виконання ряду арфметичних та алгебрачних дй над данними, як належать до х складу. Елементарна математика розгляда окрем види трансцендентних рвнянь, допускаючих аналтичне ршення. Зокрема, до них вдносяться показников та логафмичн рвняння