Змст
Основн теоретичн дан...3Методика розвязку...4рух у горизонтальнй площин.4рух у вертикальнй площин.8рух планет та супутникв по коловй орбт...11Заключення та висновки..14Список використано лтератури15Список використано лтератури
1. С.У. Гончаренко Фзика 9 клас; Кив Освта 1997 430 с.
2. Элементарный учебник физики под ред. академика Г.С. Ландсберга; Москва Наука 1972 654 с.
3. И.Е. Иродов Основные законы механики; Москва Высшая школа 1985 247 с.
4. В.К. Кобушкин Методика решения задач по физике; издательство Ленинградского университета 1972 245 с.
5. С.Ф. Клочко Базов задачи з фзики; Кив 1995 74 с.
6. Н.И. Кошкин и М.Г. Ширкевич Справочник по элементарной физике; под ред. Д.И. Сахарова Москва 1960 208 с.
7. Справочник по физике для поступающих в ВУЗы; под ред. Н.П. Калабухова Киев Наукова думка 1969 359 с.
8. А.В Круглков, С.О. Подласов Збрник вправ та задач для довузвсько пдготовки з фзики; Кв 1998 217 с.
Основн теоретичн дан
Будемо розглядати динамку руху матерально точки по колу, та задач, що виникають у звязку з розглядом цього питання. По-перше, згадамо, що динамка це такий роздл механки, який вивча звязок мж рухом дослджумих тл та силами, що дють на ц тла. Тобто беруться до уваги причини, за яких цей рух вдбуваться. Машина, наприклад, рухаться до гори, завдяки сил, що нада й мотор.
В елементарнй фзиц розглядаться рух матерально точки так називають тла, розмрами яких можна знехтувати, по вдношенню до розмрв системи, довжини трактори, тощо. Рух такого тла можна звязати з рухом точки, що вдповда центру мас цього тла. Наприклад, при розгляданн руха Земл навколо Сонця, Землю вважають матеральною точкою, т.я. розмри Земл набагато менш вдстан вд не до Сонця. А саме: радус Земл м, а вдстань до Сонця м. Тод , тобто радус Земл бльш нж в 24 000 разв менше вдстан до Сонця, знехтування розмрами очевидне.
Звязок мж параметрами руху дослджумого тла та силами, що на це тло дють, математично виража закон Ньютона:
(1), де
- сумарний добуток усх сил, що дють на тло, - маса, а - прискорення тла.
При рвномрному обертанн матерально точки по колу прискорення доцентровим виражаться формулою:
(2), де R радус кола,
а - лнйна швидксть матерально точки.
Звязок мж такими параметрами обертального руху, як
колова швидксть руху;
частота руху;
перод руху;
надають формули:
(3)
(4)
(5)
У раз обертання з прискоренням до доцентрового прискорення додаться ще так зване тангенциальне таким чином, що:
Тангенцальне прискорення звязане з кутовим прискоренням :
Як видно з останньо рвност при рвномрному обертанн (=0) тангенцальне прискорення дорвню нулев.
Обертальний рух планет та штучних супутникв описуться за допомогою закону всесвтнього тяжння, який виража залежнсть сили тяжння вд мас притягамих один до одного тл, та вдстан мж цими тлами:
(6),
де - гравтацйна стала:
Класифкаця
Задач на динамку обертального руху мат. точки в загальному випадку можна класифкувати наступним чином:
1. Рух у горизонтальнй площин.
До цього класу задач можна вднести рух автомобля або велосипедиста по колу. Рух з змною радуса обертання для тла, що лежить на круз. А також кончний маятник. Та н.
2. Рух у вертикальнй площин.
Тут розглядаються питання обертання тла на нитц та на стержн. Рух по опуклому мосту у вигляд напвкола. Та н.
3. Рух планет та супутникв по коловй орбт.
Методика розвязку
Рух у горизонтальнй площин
1. Спочатку, псля аналзу умови задач, треба нарисовати рисунок. Кажуть, що добрий рисунок це пв виршено задач. В цьому дйсно сенс, т.я. тод рух тла можна уявити в максимально реалстичному план, що нада впевненост в розвязку.
2. На рисунку обовязково треба нанести вектори всх тл, що дють на тло. Зауважимо, що на рисунку можливо вдобразити тльки якесь миттве положення обертального руху. Тому ос координат треба у кожний момент часу обирати наново, окремо. Але це буде виконуватись у кожний момент часу одним тим самим чином:
3. початок координат краще сумстити з самим тлом як мат. точкою; всь абцис (ОХ) спрямувати до центра кола, яке опису тло пд час обертання.
Ос координат обираються для того, щоб потм було зручно на них спроктувати сили, що входять до рвняння руху.
4. Надал треба записати закон Ньютона (1) векторно в проекцях, з урахуванням формули (2).
Зауважемо, що можно не обираючи систему координат просто проектувати сили на напрямок до центра кола, яке опису тло пд час обертання, та на дотичну до цього кола. (при рекомендованому обранн осей координат це буде те саме).
Для кращого розумння проблеми розглянемо деяк приклади.
Приклад 1. Рух кончного маятника
Визначити колову частоту (кутову швидксть) кончного ваятника , якщо вдома його маса та вдстань вд точки пдвису до площини коливання - . Маятник обертаться з сталою швидкстю.
Кончним маятником точкове тло на закрпленй одним кнцем нитц, яке обераться у горизонтальнй площин. Нитку вважамо нерозтяжною.
На кульку д сила тяжння , та сила натягу нитки . Т.я. при рвномрному обертанн по коловй траектор прискорення доцентровим, закон Ньютона набуде вигляду:
Спроектумо сили на ос координат перепишемо закон Ньютона у проекцях:
OX: (1.1)
OY: (1.2)
Отже, це видно по формул (1.2), сила тяжння буде компенсуватися силою натягу нитки. Точнше, вертикальною складовою. Тому руху в вертикальнй площин не буде.
З формул (2) та (5) витка:
(1.3), звдки
(1.4)
Виражаючи з рвняння (1.2) силу натягу пдставляючи до рвняння (1.1), мамо:
,
(1.5)
Пдставляючи у (1.3), отримамо:
Як видно з рисунку
, тод
(1.6)
Ми отримали формулу для колово або циклчно частоти кончного маятника залежно вд вдстан мж точкою закрплення та площиною обертання вд . Цкавим те, що ця частота не залежить вд маси тла, що обертаться. Тепер, використовуючи тригонометричн формули, можна зясувати залежнсть вд R, l чи , т.я. ц параметри звязан з у прямокутному трикутнику. Зауважемо, що R, l будуть входити в залежнсть (1.6) тльки парою, по дво одночасно. У цьому розумнн найбльш нформативним параметром дано системи кончного маятника.
За допомогою формули (1.5) та формул кнематики обертального руху, можна знайти й нш обертальн параметри кончного маятника. А з системи рвнянь (1.1)-(1.2) можна знайти силу натягу нитки. Наприклад, з рвняня (1.2) отримамо: .
Приклад 2. Рух мотоциклста по колу
З якою макс. швидкстю може хати мотоциклст, роблячи поворот по колу радуса, якщо коежцнт тертя - Визначити кут нахилу мотоциклста до горизонтально поверхн.
Розвязуючи першу частину задач, можна розглядати мотоциклста
як мат. точку (довжина мотоцикла значно менше довжини кола, яке опису мотоциклст при рус).
Сила тертя спокою у загальному випадку (2.1)
За законом Ньютона:
Вибравши ос координат як показано на попередньому рисунку, запишемо закон Ньютона у проекцях:
OX: (2.2)
OY: (2.3)
Враховуючи формулу (2), пдставимо (2.3) та (2.2) у (2.1) й отримамо нервнсть:
, або
Отже, максимально можлива швидксть мотоциклста:
(2.4)
Дйсно, з останньо формули виплива, що за вдсутност тертя () мотоциклст рухатися не може. Так насправд.
Для того, щоб мотоциклст не впав, вн повинен пд час руху утворювати кут з горизонтальною площиною. Утворювати так, щоб результуюча сила сили тяжння та сили реакц сидння мотоцикла була напрямлена до центра кола, яке опису мотоциклст при рус. Бльш того, повинна виконуватись рвнсть:
З рисунку видно, що:
Але , тому
(2.4)
Отже, щоб мотоциклст мг здйснювати обертальний рух з швидкстю , йому необхдно нахилитися на кут , що визначаться за формулою (2.4)
Приклад 3 Рух тла на диску, що обертаться
Тло масою лежить на горизонтальному диску на вдстан вд ос. Диск почина настльки повльно обертатися, що радальна складова сили тертя набагато бльша тангенцально. Визначити залежнсть сили тертя вд кутово швидкост обертання диска . Коефцнт тертя мж диском тлом .
За умови задач обертальний рух можна розглядати як рвномрний. Отже зобразимо момент процесу обертання на рисунку, та позначимо сили, що дють на дослджуване тло.
За законом Ньютона:
Вибравши ос координат як показано на попередньому рисунку, запишемо закон Ньютона у проекцях:
OX: (3.1)
OY: (3.2)
За формулою (1.3) рвнсть (3.1) можна переписати у вигляд:
(3.3)
Тобто . Але ми знамо, що . Отже мамо ус необхдн дан для побудови залежност :
OX: , (3.4)
OY: , (3.5)
Покажемо схематичний графк залежност:
Звдси одразу видно якою буде максимальна швидксть обертання диску, при якому тло буде ще лежати на диску:
Зясумо, що вдбудеться при . Тод сила тертя досягне свого максимального значення й буде вже не в змоз компенсувати вдцентрову силу тло почне рухатися вд центра. Тобто при тло почне ковзати по диску.
Отже ми розглянули основн приклади розвязання задач на динамку обертального руху в горизонтальнй площин. Як же буде виглядати картина, якщо повернути площину обертання на 90оЦе питання розглядаться в наступному роздл.
Рух у вертикальнй площин
Пдхд до розвязку задач цього типу схожий з попереднм. Всь абцис тут краще вибирати спрямовану до центра кола обертання, всь ординат по дотичнй. Причому ос треба обирати в кожний момент часу наново. Особливстю задач на обертальний рух в вертикальнй площин те, що при обертанн постйно змнються кут мж силою тяжння та силою, що напрямлена до чи вд центра кола обертання (наприклад, при обертанн груза на нитц сила натягу нитки напрямлена до центра, а при рус автомобля по опуклому чи увгнотому мосту сила реакц опори вд центра). Як це вплива на розвязок т чи ншо задач розглянемо на прикладах.
Приклад 4. Рух шайби по сфер.
З вершини напвсфери почина ковзати шайба без тертя. Довести, що шайба вдрветься не доходячи до краю сфери.
По-перше, нарисумо рисунок виразимо умову задач математичною мовою.
Тобто треба довести, що сну така висота , що як тльки шайба досягне, то вдразу вдрветься вд поверхн моста. Одразу ж вдмтимо, що коли шайба вдрвалася вд моста, на не переста дяти сила реакц опори, тобто:
(4.1)
Спрямувавши ос, як показано на рисунку, запишемо закон Ньютона векторно, та в проекц на всь ОХ:
ОХ: (4.2)
Отже, врахувавши рвност (2) та (4.1), запишемо рвняння руху в момент вдриву:
, звдки
(4.3)
З рисунка видно:
або, пдставляючи (4.3):
(4.4)
З (4.4) видно, що . На цй висот на шайбу переста дяти сила реакц опори. А це означа, що шайба вдрветься вд напвсфери не доходячи до земл.
Приклад 5 Обертання тла на стержн.
Тло обертаться у вертикальнй площин на стержн довжиною , при чому всь обертання проходить через один з його кнцв. Стержень обертають з кутовою швидкстю . Розрахувати яко максимально маси може бути тло, якщо стержень витриму навантаження За законом Ньютона:
(5.1)
Виберемо всь ОХ спрямовану до центра кола, тод (5.1) у проекц на обрану всь прийме вигляд:
(5.2)
Тут була урахована рвнсть (1.3).
Стержень д на тло силою , тод за законом Ньютона на стержень д вдцентрова сила, за модулем рвна . При сталй кутовй швидкост залежнсть згдно (5.2) прийма вигляд:
(5.3), тобто
T cos
Отже, сила Т, що д на стержень, буде максимальною, коли cos - максимальний. Але , звдки .Тому
(5.4)
Стержень не розрветься за умови:
(5.5)
Аналагчно розмрковуючи, можемо знайти найменшу силу Т тод , що вдповда З (5.3) мамо:
(5.6)
Пдставляючи граничне значення з нервност (5.5) у формулу (5.4), отримамо значення максимально допустимо маси груза:
(5.7)
Також зазначимо,що при:
(5.8)
в рвност (5.6) сила, що д на стержень може бути вдмна. Насправд вдмною проекця сили. Тобто за умови (5.8) у наверхнй точц траектор груз буде давити на стержнь. Отже до умови нерозривност стержня в загальному випадку треба додасти ще умову незламност:
(5.9)
Звдки знаходимо:
(5.10), за умови (5.8)
Тобто:
(5.11)
Аналзуючи обидва графки бачимо, що якщо стержень не розрвався внизу, то вн не зламаться наверху. Тобто справджуться формула для максимально маси (5.7). Такого висновку можна дйти аналтично, порвнюючи формули (5.7) (5.10).
Як бачимо обертальний рух в горизонтальнй та вертикальнй площинах дещо вдрзняться один вд одного. Але загальним в них те, що в обох випадках обертальний рух виника завдяки силам, що х викликають тла, як безпосередньо контактують з дослджуючим тлом. В наведених прикладах при рус у горизонтальнй площин це сили тертя, у вертикальнй сили натягу нитки тощо. У наступному тип задач доцентров сили виникають завдяки тлам, що знаходяться на досить великих вдстанях. Отже, перейдемо до розгляду обертального руху тл в умовах всесвтнього тяжння.
Рух планет та супутникв по коловй орбт
В елементарнй фзиц траекторя руху планет по орбт розглядаться як колова. Рух планет та спутникв по коловй орбт виконуться завдяки сил всесвтнього тяжння. Оскльки ця сила завжди напрямлена до центра кола обертання, то вона тю доцентровою силою, завдяки якй здйснються обертальний рух. Тобто в загальному випадку, закон Ньютона набуде вигляду:
(7)
Тут - сили, що дють на тло за винятком гравтацйних. Яким чином вибирати залежить вд конкретно задач. Дореч, поняття прискорення вльного падння тсно звязане саме з обертальним рухом Земл. Розглянемо приклад,
люструючий картину цього звязку.
Приклад 6 Вага тла на рзних широтах Земно кул.
Вагу одного й того самого тла вимряли на екватор й на полюс за допомогою однакових динамометричних вагв. Визначити спввдношення показв вагв, якщо середнй радус Земл: м, а маса М = 61024 кг.
Користуючись формулою (7) для обох випадкв (екватора полюса) запишемо:
Запишемо це рвняння у проекцях окремо для полюса та екватора, вибираючи всь проектування з початком у центр мас тла й спрямовану до центра земно кул до точки О. Тод, враховуючи, що вдстань до ос обертання Земно кул, отримамо:
полюс:
екватор:
(6.1)
(6.2)
Роздливши рвняння (6.2) на рвняння (6.1), отримамо шукане вдношення ваги на екватор та на полюс:
(6.3)
Кутову швидксть обертання можемо знайти знаючи перод обертання Земл навколо сво ос: Т = 24 години = 246060=86400 с. Мамо:
Отже (6.3) набуде кнцевого вигляду:
(6.4)
Пдставляючи у (6.4) числов знчення параметрв Земно кул, отримамо:
Отже бачимо, що вага на екватор Земл буде незначно бльшою, нж вага на плюс.
Приклад 7 Перша космчна швидксть
Щоб супутник, чи космчний корабель вийшов на колову орбту навколо Земл, йому необхдно надати в горизонтальному напрямку певну швидксть, яку називають першою космчною швидкстю. Знайдть цю швидксть.
На поверхн Земл сила всесвтнього тяжння мж спутником маси та Землею буде дорвнювати добре вдомй нам сил тяжння . Тому формула (7) набуде вигляду:
(7.1)
Звдки знаходимо першу космчну швидксть:
(7.2)
В дйсност супутник не може обертатися над самою поверхнею, у звязку з цим поста задача, наведена у наступному приклад.
Приклад 8 Лнйна швидксть супутника
За допомогою ракети супутник пднято на висоту вд поверхн Земл. Яку лнйну швидксть треба надати супутнику, щоб вн почав рухатися по коловй орбтПсля надання супутнику лнйно швидкост , на нього д тльки сила всесвтнього тяжння. Отже запишемо формулу (7) для даного випадку:
(8.1),
де - маса супутника; - радус Земл, а - маса.
Бля поверхн Земл сила тяжння:
, звдки
(8.2)
Пдставляючи (8.2) у (8.1), отримамо вираз для лнйно швидкост супутника:
(8.3)
При ця формула переходить в формулу (7.2).
Заключення висновки
Отже, ми розглянули методику розвязку основних класв задач на динамку рвномрного обертального руху матерально точки. Побачили на прикладах, специфки розвязку окремих класв. Але скрзь простежуться дещо спльне для всх задач на динамку обертального руху. Насправд, можна видлити загальний пдхд до х розвязку. Цей пдхд реалзумо у вигляд алгаритму.
Загальний алгоритм розвязку:
1. Проаналзувати умову задач, де необхдно (в бльшост випадкв) нарисовати рисунок у якийсь фксований момент часу.
2. Записати рвняння руху у вигляд закону Ньютона у векторнй форм.
3. Вибрати всь ОХ таким чином, що початок ос буде спвпадати з центром мас тла, що обертаться, а напрямок буде напрямлений до центра кола обертання. Всь ОУ вибрати з огляду зручност.
4. Записати закон Ньютона у проекцях на ос. нод достатньо лише проекц на всь ОХ.
5. Зясувати як буде математично визначатися питання задач. Може зявитися ще одне рвняння.
6. Розвязати отримане рвняння або систему й отримати вдповдь.
7. Проаналзувати, чи вдповдь повна, або чи ма зайву нформацю.