вариант
Задача 1
Администрация страховой компании приняла решение о введении нового вида услуг страхование на случай пожара. С целью определения тарифов по выборке из 10 случаев пожаров анализируется зависимость стоимости ущерба, нанесенного пожаром от расстояния до ближайшей пожарной станции:
п/п
Общая сумма ущерба, млн.руб.
26,2
17,8
31,3
23,1
27,5
36,0
14,1
22,3
19,6
31,3
Расстояние до ближайшей станции, км
3,4
1,8
4,6
2,3
3,1
5,5
0,7
3,0
2,6
4,3
Построить поле корреляции результата и фактора
Поле корреляции результата (общая сумма ущерба) и фактора (расстояние до ближайшей пожарной станции).
На основании поля корреляции можно сделать вывод , что между факторным (Х) и результативным (Y) признаками существует прямая зависимость.
Определить параметры а и b уравнения парной линейной регрессии:
где n число наблюдений в совокупности ( в нашем случае 10)
a и b искомые параметры
x и y фактические значения факторного и результативного признаков.
Для определения сумм составим расчетную таблицу из пяти граф, в графе 6 дадим выравненное значение y (y).
В графах 7,8,9 рассчитаем суммы, которые использованы в формулах пунктов 4,5 данной задачи.
X
Y
X
xy
y
y
(y-y)
(x-x)
(y-y)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3,4
26,2
11,56
686,44
89,08
26,20
0,00
0,0729
1,6384
1,8
17,8
3,24
316,84
32,04
18,70
0,81
1,7689
36,6884
4,6
31,3
21,16
979,69
143,98
31,80
0,25
2,1609
47,3344
2,3
23,1
5,29
533,61
53,13
21,00
4,41
0,6889
15,3664
3,1
27,5
9,61
756,25
85,25
7,29
0,0009
0,0144
5,5
36
30,25
1296
198
36,00
0,00
5,6169
122,7664
0,7
14,1
0,49
198,81
9,87
13,50
0,36
5,9049
130,4164
3
22,3
9
497,29
66,9
24,30
4,00
0,0169
0,3844
2,6
19,6
6,76
384,16
50,96
22,40
7,84
0,2809
6,3504
4,3
31,3
18,49
979,69
134,59
30,40
0,81
1,3689
30,0304
31,3
249,2
115,85
6628,78
863,8
249,1
25,77
17,881
390,9900
Коэффициент регрессии (b) показывает абсолютную силу связи между вариацией x и вариацией y. Применительно к данной задаче можно сказать, что при применении расстояния до ближайшей пожарной станции на 1 км общая сумма ущерба изменяется в среднем на 4,686 млн.руб.
Таким образом, управление регрессии имеет следующий вид:
Линейный коэффициент корреляции определяется по формуле:
В соответствии со шкалой Чеддока можно говорить о высокой тесноте связи между y и x, r = 0.957.
Квадрат коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации
Это означает, что доля вариации y объясненная вариацией фактора x включенного в уравнение регрессии равна 91,6%, а остальные 8,4% вариации приходятся на долю других факторов, не учтенных в уравнении регрессии
Статистическую значимость коэффициента регрессии b проверяем с помощью t-критерия Стьюдента. Для этого сначала определяем остаточную сумму квадратов:
и ее среднее квадратическое отклонение:
Найдем стандартную ошибку коэффициента регрессии по формуле:
Фактическое значение t-критерия Стьюдента для коэффициента регрессии b рассчитывается как
Полученное фактическое значение tb сравнивается с критическим tk , который получается по талблице Стьюдента с учетом принятого уровня значимости L=0,05 (для вероятности 0,95) и числа степеней свободы
Полученный коэффициент регрессии признается типичным, т.к.
Оценка статистической значимости построенной модели регрессии в целом производится с помощью F-критерия Фишера
Фактическое значение критерия для уравнения определяется как
Fфакт сравнивается с критическим значением Fк, которое определяется по таблице F-критерия с учетом принятого уровня значимости L=0,05 (для вероятности 0,95) и числа степеней свободы:
Следовательно, при Fфакт>Fк уравнении регрессии в целом признается существенным.
По исходным данным полагают, что расстояние до ближайшей пожарной станции
уменьшится на 5% от своего среднего уровня
Следовательно, значения факторного признака для точечного прогноза:
а точечный прогноз :
Строим доверительный интервал прогноза ущерба с вероятностью 0,95 (L=0,05) по формуле
Табличное значение t-критерия Стьюдента для уровня значимости L=0,05 и числа степеней свободы п-2=10-2=8,
Стандартная ошибка точечного прогноза рассчитываемая по формуле
Отсюда доверительный интервал составляет:
Из полученных результатов видно, что интервал от 19,8 до 28,6 млн. руб. ожидаемой величины ущерба довольно широкий. Значительная неопределенность прогноза линии регрессии, это видно из формулы связана прежде всего с малым объемом выборки (n=10), а также тем, что по мере удаления xk от ширина доверительного интервала увеличивается.
Задача 2
Имеются следующие данные о ценах и дивидендах по обыкновенным акциям, также о доходности компании